Giáo trình này là một trong những trong những giáo trình trong tiến độ đại cương cứng của bậc huấn luyện đại học. Giáo trình được desgin theo phương châm vừa đáp ứng nhu cầu yêu cầu chuẩn mực của sách giáo khoa, vừa có giá trị thực tiễn, đồng thời tăng tốc khả năng tự học, tự nghiên cứu và phân tích của sinh viên.
Th
S. Đoàn vương Nguyên bài tập thường kỳ Toán thời thượng A3 Đại học năm học tập 2011 – 2012 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI TẬP THƯỜNG KỲ MÔN TOÁN CAO CẤP A3 GVHD: Th
S. Đoàn vương vãi Nguyên Lớp học phần:………………………..Khoa: KHCB học kỳ:………Năm học: 2011 – 2012 danh sách nhóm: (ghi theo máy tự ABC) 1. Nguyễn Văn A 2. Lê Thị B ………..HƯỚNG DẪN TRÌNH BÀY 1) Trang bìa như bên trên (đánh máy, không phải in màu, không cần tiếng nói đầu). 2) vào phần làm bài bác tập, chép đề câu nào dứt thì giải rõ ràng ngay câu đó. 3) Trang ở đầu cuối là tài liệu tham khảo: 1. Nguyễn vinh quang – Giáo trình Toán thời thượng A3 – ĐHCN TP. HCM. 2. Đỗ Công Khanh – Giải tích hàm nhiều phát triển thành (tập 3, 4) – NXB ĐHQG TP. HCM. 3. Nguyễn Đình Trí – Phép tính Giải tích hàm nhiều phát triển thành – NXB Giáo dục. 4. Phan Quốc Khánh – Phép tính Vi tích phân (tập 2) – NXB Giáo dục. 5. Nguyễn Thừa hòa hợp – Giải tích (tập 2) – NXB ĐHQG Hà Nội. 6. Nguyễn Thủy Thanh – bài tập Giải tích (tập 2) – NXB Giáo dục. 7. James Stewart – Calculus Early Transcendentals, sixth edition – USA 2008.Chú ý• Phần có tác dụng bài bắt buộc phải viết tay (không đồng ý đánh máy) bên trên 01 hoặc 02 phương diện giấy A4 với đóng thành tập cùng với trang bìa.• Thời hạn nộp bài: huyết học sau cuối (sinh viên đề nghị tự phát âm trước bài học cuối để triển khai bài!).• nếu nộp trễ hoặc ghi sót tên của member trong nhóm sẽ không được giải quyết và bị cấm thi.• mỗi nhóm chỉ từ 01 đến tối đa là 07 sinh viên. Sinh viên tự lựa chọn nhóm và nhóm trường đoản cú chọn bài bác tập.• Phần làm bài bác tập, sinh viên đề nghị giải bằng bề ngoài tự luận rõ ràng.* Sinh viên làm cho đúng yêu cầu mà chỉ lựa chọn toàn câu hỏi dễ thì điểm buổi tối đa của group là 7 điểm.• cách chọn bài xích tập như sau 1) đội chỉ có một sinh viên thì chọn làm 42 câu hỏi nhỏ dại (các câu hỏi nhỏ phải phía trong các thắc mắc khác nhau) gồm: Chương 1: lựa chọn 10 câu hỏi bé dại trong 16 câu của phần I với 3 câu hỏi nhỏ trong 5 câu của phần II; Chương 2: chọn 6 câu hỏi nhỏ dại trong 8 câu của phần I với 4 câu hỏi nhỏ dại trong 4 câu của phần II; Chương 3: lựa chọn 5 câu hỏi nhỏ tuổi trong 5 câu của phần I và 6 câu hỏi bé dại trong 6 câu của phần II; Chương 4: lựa chọn 4 câu hỏi nhỏ dại trong 5 câu của phần I cùng 4 câu hỏi nhỏ dại trong 4 câu của phần II. 2) Nhóm tất cả từ 2 đến tối đa 7 sv thì làm cho như nhóm có 1 sinh viên, bên cạnh đó mỗi sinh viên tạo thêm phải chọn làm thêm 20 câu hỏi bé dại khác (nằm vào các thắc mắc khác nhau). ……………………………………………….. Trang 1Th
S. Đoàn vương vãi Nguyên bài xích tập hay kỳ Toán cao cấp A3 Đại học năm học 2011 – 2012 ĐỀ BÀI TẬP Chương 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾNI. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂNCâu 1. Tính những đạo hàm riêng z x′ , z y′ của các hàm số sau 1 x sin x cos1) z = e 2) z = e 3) z = y x ; 4) z = x 2y ; y y ; ; ( ) x 3 + y3 y2 x 7) z = y 2 sin 6) z = ln x + x 2 + y 2 ;5) z = 8) z = arctan ; ; ; x 2 − y2 y x x 12) z = ln x + ln . 9) z = arcsin(x 2 − 2y ) ; 10) z = e xy cos x sin y ; 11) z = ln(x + ln y ) ; yCâu 2. Tính các đạo hàm riêng fx′, fy′, fz′ của những hàm số sau 1 1 x 2 +y 2 +z 21) f (x , y, z ) = ln(x + y + z ) ; 2) f (x , y, z ) = 3) f (x , y, z ) = e 2 2 2 ; ; x 2 + y2 + z 2 z4) f (x , y, z ) = (xy )z ; 5) f (x , y, z ) = ln
Hướng dẫn. áp dụng công thức: z x′ = z u .ux′ + z v′.vx′ ; z y = z u .uy + z v′.vy . ′ ′ ′′ ′Câu 4. Tính đạo hàm y ′(x ) của các hàm số ẩn y = y(x ) xác minh bởi những phương trình sau x y − ln y = xe pháo y ;1) x 3y − x 2y 2 = ln x ; 2) xe cộ y + y 2e x = e xy ; 3) ln x 2 + y 2 = arctan ; 4) y x x +y 1 x x = ln(x 2 + y ) ; 8) sin − arccos y = e y ;5) x ln y = ln(x 2 + y 2 ) ; 6) 2 = arctan ; 7) arcsin x +y 2 2 y y9) cos(xy ) − e xy = xy 2 ; 10*) x y − y x = 0 ;11*) Tính y ′(1) và y ′′(1) biết x 2 + 2xy + y 2 − 2x + 4y − 4 = 0 cùng y(1) = 2 .Câu 5. Tính đạo hàm riêng z x′ , z y′ của các hàm số ẩn z = z (x , y ) khẳng định bởi các phương trình sau z 3) ln x 2 + y 2 = arctan1) x 3yz − x 2y 2z 2 = ln(x + y ) ; 2) xe y + y 2e xz = e xy z ; ; xy Trang 2Th
S. Đoàn vương Nguyên bài bác tập hay kỳ Toán cao cấp A3 Đại học năm học 2011 – 2012 1 z z z − ln xy = xe cộ yz ; − x arccos y = xye z ; = arctan ; 6) sin4) 5) x +y22 y y y x . X z xy 9) z − y = arctan = ln + x 2y ; = z ln(y + z ) ; 7) 8) z − y z y z
Câu 6. Tính đạo hàm của các hàm số ẩn y = y(x ) , z = z (x ) xác định bởi các hệ phương trình sau x 3 + y 2 + z = 0 x 3y + y + z = 0 xe y + y = e z 1) 2 2) 2 3) z ; ; ; x + y − z = 1 x z + y − z = 1 xe + z = e 2 y xe y + y = e x z x +y +z = 0 x 2 + y 2 = z 2 6) 4) z 5) 2 ; ; . xe + z = e x y x + y + z = 1 x + y + z = 0 2 2 Hướng dẫn. Đạo hàm mỗi phương trình theo x , sau đó giải hệ để tìm y ′(x ), z ′(x ) .Câu 7. Tính các đạo hàm cấp cho cao dưới đây 2 +3y1) fx(10)(x , y ) cùng với f (x , y ) = e 2x +3y ; 2) fy(12)(x , y ) với f (x , y ) = e x ; 55 12 y3) fx(7)4 (x , y ) với f (x , y ) = cos(x − y ) ; 4) fx(20) (x , y ) cùng với f (x , y ) = x 21y 11 + x 10y 10 ; 3 11 9 y y5) fx(5)3 (x , y ) với f (x , y ) = x ln(xy ) ; 6) fx(8)2 (x , y ) cùng với f (x , y ) = x 10y ln y ; 2 6 y y7) fx(20) (x , y ) cùng với f (x , y ) = e x ln y ; 8) fx(6)3 (x , y ) cùng với f (x , y ) = sin(2x − y ) ; 15 5 3 y y9) fx′′′ (x , y ) với f (x , y ) = arctan(xy ) ; ′′′ 10) fxy 2 (x, y ) cùng với f (x , y ) = cos(y sin x ) ; 2 y11) fx(6)4 (x , y ) với f (x , y ) = x 3 sin y + y 3 cos x ; 12) fx(6)3z (x , y, z ) với f (x , y ) = ln(x + y − z ) . 2 2 y y
Câu 8*. Tính các đạo hàm cung cấp cao tiếp sau đây ( n, m ≥ 2 )1) fx(n2ynn)(x , y ) cùng với f (x , y ) = x ne −3y ; 2) fx(n2ynn)(x , y ) với f (x , y ) = e x −3y ;3) fx(n2ynn)(x , y ) cùng với f (x , y ) = x n −1y + x n y 2n ; 4) fx(nn−)1y (x , y ) với f (x , y ) = x n arctan y ;5) fx(2n )n −2 (x , y ) cùng với f (x , y ) = e 2y ln x ; 6) fx(nn−)2y 2 (x , y ) với f (x , y ) = x n y ln y ; y 17) fx(nny+m )(x , y ) với f (x , y ) = 2x y nm ; 8) fx(nny+m )(x , y ) với f (x , y ) = ; 2x + y m m 19) fx(nny+m )(x , y ) với f (x , y ) = ln(x + y ) ; 10) fx(nny+m )(x , y ) với f (x , y ) = . M m (x − y )2Câu 9*. Tính đạo hàm riêng cấp hai z x′′2 , z y′′2 , z xy của các hàm số vừa lòng sau ′′ x 2 −2v 2 cùng với u = cos x , v = x 2 + y 2 ; 2) z = ln(u 2 + v 2 ) cùng với u = xy, v =1) z = e u ; y x 23) z = u v với u = 2x , v = x 2 + y 2 ; 4) z = ln(u 2 + ln v ) với u = xy, v = ; y 1 6) z = arcsin(u 2 − v ) cùng với u = xy, v = x + y 2 .5) z = arctan(u − v ) cùng với u = x 2 , v = ; x + y2 2 u cùng với u = e 2x − 1, v = e 2x + 1 ; 8) z = u 2 ln v với u = xy, v = x 2 − y 2 .7) z = arctan v
Câu 10*. Tính đạo hàm cấp ba y ′′(x ) của những hàm số ẩn y = y(x ) xác định bởi các phương trình sau Trang 3Th
S. Đoàn vương Nguyên bài bác tập thường xuyên kỳ Toán cao cấp A3 Đại học năm học tập 2011 – 2012 x y − ln y = xe y ; 3) ln x 2 + y 2 = arctan1) x 3y − x 2y 2 = ln x ; 2) xe y + y 2e x = e xy ; ; 4) y x x +y 1 x x = ln(x 2 + y ) ; 8) sin − arccos y = e y .5) x ln y = ln(x 2 + y 2 ) ; 6) 2 = arctan ; 7) arcsin x +y 2 2 y y
Câu 11*. Chứng tỏ rằng: 1 thỏa phương trình Laplace z x′′2 + z y′′2 = 0 ;1) Hàm số z = ln x +y 2 2 y 2) Hàm số z = xf ( f là hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục) thỏa phương trình z x′′2 .z y2 = (z xy ) ; 2 ′′ ′′ x y y 3) Hàm số z = f + xg ( f , g khả vi đến cấp hai) thỏa phương trình x 2z x′′2 + 2xyz xy + y 2z y2 = 0 . ′′ ′′ x x z4) Hàm số z = y.f (cos(x − y )) ( f là hàm số khả vi) thỏa phương trình z x′ + z y′ = ; y 1 1 y z ( f là hàm số khả vi) thỏa phương trình .z x′ + .z y = 2 ; ′5) Hàm số z = f (x − y ) 2 2 x y y x2 .f (xy ) ( f là hàm số khả vi) thỏa phương trình x 2 − xy.z x′ + y 2 .z y = 0 . ′6) Hàm số z = 3y
Câu 12. Tính vi phân cấp một sẽ chỉ ra của những hàm số sau đây1) df (−1; log 4 7) cùng với f (x , y ) = x n 4y ; 2) df (3; −1) cùng với f (x , y ) = ln 5 x − y ;3) df (1; −2) với f (x , y ) = x arctan(y − x ) ; 4) df (1; −2) với f (x , y ) = x 2 arctan(xy 3 ) .Câu 13. Tính vi phân cung cấp hai của những hàm số sau 21) z = x 2 − 2xy + sin(xy ) ; 2) z = sin2 x + e y ; 3) z = xe y + y 2 + y sin x ;4) z = e xy − y ln x ; 5) z = x 2 + x sin2 y ; 6) z = x 2 + x cos2 y .7) z = x 2y + y 2 x ; 8) z = sin(x − y )cos(xy ) ; 9) z = x 2 ln(x + y ) ; ( ) y10*) z = x ln y ; 11) z = arctan 12*) z = ln x + x 2 + y 2 . ; x
Câu 15. Tính vi phân cấp tía d 3 f (x , y ) của các hàm số sau x1) f (x , y ) = x 6y + 2) f (x , y ) = sin(x − 2y ) ; 3) f (x , y ) = ln(2x + y ) ; ; y4) f (x , y ) = e x sin y ; 5) f (x , y ) = x .3y ; 6) f (x , y ) = y 2 ln x .Câu 16. Tìm vector gradient cùng tính đạo hàm theo phía v = (2; −2; −1) của những hàm số f trên điểm M sau π1) f (x , y, z ) = x 6y + y sin z , M 1; −3; − ; 2) f (x , y, z ) = ln(x 2 + y 2 + z 2 ) , M (1; −4; −5) ; 33) f (x , y, z ) = z 2 − x 2 + y 2 , M (4; −3; −1) ; 4) f (x , y, z ) = x y 2 + z 2 , M (1; −4; −3) ; xyz 235) f (x , y, z ) = xe cộ xy z , M (0; −2; 1) ; 6) f (x , y, z ) = , M (0; −1; −1) ; x 2 + y2 + z 2 Trang 4Th
S. Đoàn vương vãi Nguyên bài tập thường kỳ Toán cao cấp A3 Đại học tập năm học tập 2011 – 2012II. CỰC TRỊ HÀM hai BIẾN SỐCâu 1. Tìm rất trị địa phương (tự do) của các hàm hai biến đổi số sau1) f (x , y ) = x 3 + 27x + y 2 + 2y ; 2) f (x , y ) = x 4 − 8x 2 + y 2 + 5 ; 3) f (x , y ) = x 3 + y 3 − 12x − 3y ; 11 6) f (x , y ) = xy + +;4) f (x , y ) = x 4 − y 4 − 4x + 32y ; 5) f (x , y ) = x 3 − y 2 − 3x + 6y ; xy 2 −y 2 9*) f (x , y ) = e 4y−x7) f (x , y ) = (1 + xy )(x + y ) ; 8) f (x , y ) = x 3y + 12x 2 − 8y ; ; x 2 y210) f (x , y ) = x + y − xe cộ ; 11) f (x , y ) = x y (3x + 2y + 1) ; 12*) f (x , y ) = xy 1 − − 23 y . 4 9Câu 2. Tìm rất trị địa phương (có điều kiện) của những hàm hai trở thành số sau1) Hàm số z = ln(x 2 − 2y ) với điều kiện x − y − 2 = 0 ;2) Hàm số z = ln 1 + x 2y với điều kiện x − y = 3 ;3) Hàm số z = x 2 (y − 1) − 3x + 2 với đk x − y + 1 = 0 ;4) Hàm số z = x 2 (y + 1) − 3x + 2 với đk x + y + 1 = 0 ;5) Hàm số z = x 3 − 9x + 3y với điều kiện −x 2 + y + 1 = 0 .Câu 3. Tìm cực trị địa phương (có điều kiện) của những hàm hai vươn lên là số sau1) Hàm số z = 2x + y với đk x 2 + y 2 = 1 ;2) Hàm số z = x 2 + 12xy + 2y 2 với điều kiện x 2 + 2y 2 = 1 ;3) Hàm số z = x − y − 8 với điều kiện x 2 + y 2 = 2 ;4) Hàm số z = x 2 + y 2 với đk x 2 − 2x + y 2 − 4y = 0 ; 11 1 1 15) Hàm số z = + với đk 2 + 2 = . 4 xy x y
Câu 4*. Dùng phương thức nhân tử Lagrange, tra cứu điểm M thuộc:1) con đường tròn x 2 + y 2 = 1 cùng có khoảng cách đến đường thẳng x + y = 3 ngắn nhất, nhiều năm nhất;2) con đường tròn x 2 + y 2 − 4x = 0 với có khoảng cách đến mặt đường thẳng x + y = 10 ngắn nhất, lâu năm nhất; x2 + y 2 = 1 cùng có khoảng cách đến đường thẳng x − y − 6 = 0 ngắn nhất, lâu năm nhất;3) elip 4 x 2 y2 + = 1 cùng có khoảng cách đến đường thẳng x − y − 6 = 0 ngắn nhất, dài nhất.4) elip 4 9Câu 5*. Tìm cực trị cục bộ (giá trị max – min) của những hàm hai biến chuyển số sau1) Hàm số f (x , y ) = x 3 + y 3 − 3xy trên miền 0 ≤ x ≤ 2, − 1 ≤ y ≤ 2 ;2) Hàm số f (x , y ) = x 2 + y 2 − xy − x − y bên trên miền x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 3 ;3) Hàm số f (x , y ) = xy 2 bên trên miền x 2 + y 2 ≤ 1 ;4) Hàm số f (x , y ) = x 2 − xy + y 2 trên miền | x | + | y | ≤ 1 ;5) Hàm số f (x , y ) = x 2 + y 2 + x 2y + 4 trên miền 0 ≤ | x | ≤ 1, 0 ≤ | y | ≤ 1 ;6) Hàm số f (x , y ) = x 4 + y 4 − 4xy + 2 trên miền 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2 ;7) Hàm số f (x , y ) = 2x 3 + y 4 bên trên miền x 2 + y 2 ≤ 1 . ………………………………………………………………….. Trang 5Th
S. Đoàn vương vãi Nguyên bài bác tập thường xuyên kỳ Toán cao cấp A3 Đại học năm học 2011 – 2012 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘII. TÍCH PHÂN BỘI hai (KÉP) ∫∫ f (x, y )dxdy
Câu 1. Đưa các tích phân kép I = về tích phân lặp, biết miền D giới hạn bởi D1) y = 3x với y = x ; 2) y = 2x 2 − x cùng y = x 2 + 2x + 4 ; 23) y = x và y = 2 x ; 4) y = x 2 với y = x 3 ;5) y = 3x với y = x 2 + 2 ; 6) x = 3, x = 5, 3x − 2y + 4 = 0 cùng 3x − 2y + 1 = 0 ;7) x + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 ; 8) x + y ≤ 1, x − y ≤ 1, x ≥ 0 . 2 29) y ≥ x 2 , y ≤ 4 − x 2 ; 10) (x − 2)2 + (y − 3)2 ≤ 4 ; x 2 y211) y = x 2 , y = x ; + ≤ 1. 12) 4 9Câu 2. Đổi đồ vật tự lấy tích phân của các tích phân sau x2 x3 4−x 2 2 1 ∫ dx ∫ ∫ dx ∫ f (x, y )dy ; ∫ dx ∫ f (x, y )dy ; 2) I =1) I = 3) I = f (x , y )dy ; 1 2 1 2 0 0 2 x −x 2 ex ln 2 2 1 2 ∫ dx ∫ f (x, y )dy ; ∫ dx ∫ f (x, y )dy ; ∫ dx ∫4) I = 5) I = 6) I = f (x , y )dy ; 2−x x 0 0 1 1 e 1−x 2 ln x 1 1 e x ∫ dx ∫ f (x, y )dy ; ∫ dx ∫ f (x, y )dy ; ∫ dx ∫7) I = 8) I = 9) I = f (x , y )dy ; −1 1 0 0 0 x 9−y 2 4y 9−x 3 3 1 ∫ dx ∫ ∫ dy ∫ f (x, y )dx ; ∫ dy ∫ 11) I = 12) I =10) I = f (x , y )dy ; f (x , y )dx . 0 0 − 9−x 0 − 9−y 2 y
Câu 3. Chuyển các tích phân kép sau lịch sự tọa độ cực1) I = ∫∫ f (x 2 + y 2 )dxdy , biết miền D số lượng giới hạn bởi x 2 + y 2 ≤ 4y ; D ∫∫ f (x + y 2 )dxdy , biết miền D giới hạn bởi x 2 + y 2 ≤ 4x ;2) I = 2 D ∫∫ f ( )3) I = x 2 + y 2 dxdy , biết miền D giới hạn bởi x 2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0 ; D4) I = ∫∫ f ( x + y )dxdy , biết miền D số lượng giới hạn bởi x + y 2 ≤ 2x , y ≥ 0 ; 2 2 2 D ∫∫ f (x, y )dxdy , biết miền D số lượng giới hạn bởi x 2 + y 2 ≤ 1, x − y ≥ 1 ;5) I = D ∫∫ f (x, y )dxdy , biết miền D số lượng giới hạn bởi x 2 + y 2 ≤ 1, x + y ≤ 1 .6) I = DCâu 4. Tính những tích phân kép tiếp sau đây π (sin x + 2 cos y )dxdy , trong những số đó D : 0 ≤ x ≤ ; 0 ≤ y ≤ π ; ∫∫1) I = 2 D Trang 6Th
S. Đoàn vương Nguyên bài xích tập thường kỳ Toán thời thượng A3 Đại học năm học 2011 – 2012 x ∫∫ y ln ydxdy , trong đó D : 0 ≤ x ≤ 2; 1 ≤ y ≤ e ;2) I = D π sin 5 x cos10 ydxdy , trong các số ấy D : 0 ≤ x ≤ 2π; 0 ≤ y ≤ ; ∫∫3) I = 4 D x2 ∫∫ dxdy , trong số đó D : 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1 ;4) I = y2 + 1 D dxdy ∫∫ (x + y + 1)5) I = , trong số đó D : 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1 ; 2 D dxdy ∫∫ (x + y)6) I = , trong những số đó D : 1 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ y ≤ 1 ; 2 D ∫∫ (e + e y )dxdy , trong các số đó D : 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1 ;7) I = x D ∫∫ (sin x + cos y )dxdy , trong các số ấy D : 0 ≤ x ≤ 2π; 0 ≤ y ≤ π ;8) I = D π cos y dxdy , trong những số đó D : x = 1; x = 2; y = 0; y = ; ∫∫9) I = 2 x D ∫∫ x ln ydxdy , trong các số ấy D : x = 0; x = 2; y = 1; y = e ;10) I = D ∫∫ (3x + 2)dxdy , trong những số đó miền D là ∆OAB với O(0; 0), A(1; 0), B(1; 1);11) I = D ∫∫ 2(x + y )dxdy , trong những số ấy miền D là ∆OAB cùng với O(0; 0), A(1; 0), B(1; 1);12) I = D y ∫∫ e dxdy , trong đó D : x = 1; y = 0; y = x ;13) I = x D ∫∫ 2xydxdy , trong đó D : y = x ; y =14) I = x ; D ∫∫ xdxdy , trong các số đó D : y = x − 2x ; y = 2x 2 − 4x .15) I = 2 DCâu 5. Chuyển sang tọa độ cực và tính các tích phân sau trong tọa độ mới1) I = ∫∫ (x 2 + y 2 )2 dxdy , trong số ấy D là hình trụ x 2 + y 2 ≤ 1 ; D dxdy ∫∫2) I = , trong đó D là hình trụ x 2 + y 2 ≤ 9 ; x +y2 2 D ∫∫ x 2 + y 2 dxdy , trong đó D là hình vành khăn 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ;3) I = D ∫∫ x 2 + y 2 dxdy , trong số ấy D là phần hình tròn trụ x 2 + y 2 ≤ 4 thuộc góc phần tư thứ nhất.4) I = D ∫∫ x y dxdy , trong những số đó D là nửa hình tròn x ≥ 0, x 2 + y 2 ≤ 1 ;5) I = 23 D ∫∫ (x + y 2 )dxdy , trong các số ấy D là nửa hình tròn x 2 + y 2 ≤ 4, y ≥ 0 ;6) I = 2 D Trang 7Th
S. Đoàn vương Nguyên bài tập thường xuyên kỳ Toán thời thượng A3 Đại học năm học 2011 – 2012 1−x −y2 2 ∫∫7) I = dxdy , trong những số ấy D : x 2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 ; 1+x +y 2 2 D dxdy ∫∫ , trong các số đó D : x 2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 ;8) I = 4 −x −y 2 2 D y ∫∫ 9) I = + 1dxdy , trong số đó D : 1 ≤ x + y ≤ 2x ; 2 2 x D x 2 − y2 ∫∫10) I = dxdy , trong số đó D : 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2y ; 2 y D ∫∫
S. Đoàn vương vãi Nguyên bài xích tập thường xuyên kỳ Toán thời thượng A3 Đại học tập năm học tập 2011 – 2012 ∫∫∫ 2xyzdxdydz , trong những số đó miền : 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 2x , 0 ≤ z ≤ y ;3) I = ∫∫∫ ze dxdydz , trong số đó miền : 0 ≤ x ≤ 1 − z 2 , 0 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ z ≤ 1 ;4) I = y ∫∫∫ ze −y 2 : 0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ z , 0 ≤ z ≤ 1 ;5) I = dxdydz , trong đó miền π : 0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ , 0 ≤ z ≤ x ; ∫∫∫6) I = cos(x + y + z )dxdydz , trong số ấy miền 2 ∫∫∫ x : 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ xz , 0 ≤ z ≤ x ;7) I = 2 sin ydxdydz , trong số đó miền ∫∫∫ yz cos(x : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x , x ≤ z ≤ 2x ;8) I = 5 )dxdydz , trong các số đó miền π : 0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ z , 0 ≤ z ≤ ; ∫∫∫9) I = xy cos zdxdydz , trong số ấy miền 2 ∫∫∫ dxdydz , trong số đó miền : − 4 − 2z ≤ x ≤ 4 − 2z , x 2 ≤ y ≤ 4 − 2z, 0 ≤ z ≤ 2 .10) I =Câu 2. Chuyển các tích phân sau lịch sự tọa độ trụ hoặc tọa độ cầu1) I = ∫∫∫ f (x , y, z )dxdydz , trong số ấy là miền giới hạn bởi các mặt z = x 2 + y 2 và z = 4 ; ∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz , trong số đó là phần hình trụ x 2 + y 2 ≤ 1 với 1 ≤ z ≤ 4 ;2) I = ∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz , trong số ấy là miền giới hạn bởi những mặt x 2 + y 2 = 2x , z = x 2 + y 2 , z = 0 ;3) I = ∫∫∫ f (x4) I = + y 2 , z )dxdydz , trong các số ấy 2 là phần bình thường của hai hình cầu: x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 và x 2 + y 2 + (z − R)2 ≤ R 2 ; ∫∫∫ (x là miền 1 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ;5) I = + y 2 + z 2 )dxdydz , trong số đó 2 ∫∫∫ là miền x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ( z ≥ 0 );6) I = x 2 + y 2 + z 2 dxdydz , trong các số đó ∫∫∫ f (x, z )dxdydz , trong số đó là 1/8 hình ước x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 nằm trong tam diện tọa độ sản phẩm công nghệ nhất;7) I = ∫∫∫ f (x là nửa hình ước x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 ( x ≥ 0 );8) I = + y 2 , z )dxdydz , trong những số ấy 2 ∫∫∫ f (x là phần hình nón z 2 ≥ x 2 + y 2 (z ≥ 0) ở trong9) I = + y 2 + z 2 )dxdydz , trong đó miền 2 hình cầu x 2 + y 2 + z 2 ≤ 16 .Câu 3. Tính những tích phân bội tía sau ∫∫∫ 6xydxdydz , trong những số đó miền số lượng giới hạn bởi x + y − z + 1 = 0, y = x , y = 0, x = 1, z = 0 ;1) I = ∫∫∫ ydxdydz , trong những số ấy miền số lượng giới hạn bởi 2x + 2y + z − 4 = 0, x = 0, y = 0, z = 0 ;2) I = Trang 9Th
S. Đoàn vương vãi Nguyên bài xích tập thường xuyên kỳ Toán cao cấp A3 Đại học tập năm học 2011 – 2012 ∫∫∫ x e dxdydz , trong đó miền giới hạn bởi z = 1 − y 2 , x = −1, x = 1, z = 0 ;3) I = 2y ∫∫∫ xydxdydz , trong những số đó miền giới hạn bởi y = x 2 , x = y 2 , z = 0, x + y − z = 0 ;4) I = ∫∫∫ xdxdydz , trong những số ấy miền giới hạn bởi x = 4y 2 + 4z 2 , x = 4 ;5) I = ∫∫∫ zdxdydz , trong các số ấy miền số lượng giới hạn bởi y 2 + z 2 = 9, y = 3x , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 ;6) I = ∫∫∫ ydxdydz , trong các số đó miền số lượng giới hạn bởi y = 4 − x 2 − 4z 2 , y = 0 ;7) I = ∫∫∫ dxdydz , trong số ấy miền giới hạn bởi z = x 2 , 2y + z − 4 = 0, y = 0 ;8) I = z ∫∫∫ x9) I = giới hạn bởi 1 ≤ x 2 + z 2 ≤ 2, π ≤ y ≤ 2π ; dxdydz , trong những số ấy miền + z2 2 xy ∫∫∫10) I = số lượng giới hạn bởi x 2 + y 2 = 4z 2 , z = 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 . Dxdydz , trong các số ấy miền z
Câu 4. Bằng cách chuyển lịch sự tọa độ trụ hoặc tọa độ cầu, hãy tính những tích phân bội tía sau dxdydz1) I = ∫∫∫ , trong những số đó miền : x 2 + y 2 ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 2 ; x +y 2 2 cos x 2 + y 2 dxdydz ∫∫∫2) I = : x 2 + y 2 ≤ π 2 , 0 ≤ z ≤ 3 ; , trong số ấy miền x +y 2 2 dxdydz ∫∫∫ số lượng giới hạn bởi những mặt z = 0 và z = 4 − x 2 − y 2 ;3) I = , trong số ấy miền x +y2 2 ∫∫∫ cos giới hạn bởi các mặt z = −8 cùng z = 1 − x 2 − y 2 ;4) I = x 2 + y 2 dxdydz , trong các số ấy miền ∫∫∫ ln ( )5) I = x 2 + y 2 + 1 dxdydz , trong số ấy miền : x 2 + y 2 ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 3 ; ∫∫∫ : x 2 + y 2 ≤ 9, 1 ≤ z ≤ 2 ;6) I = x 2 + y 2 dxdydz , trong các số ấy miền ∫∫∫ xydxdydz , trong số ấy giới hạn bởi x 2 + y 2 = 1, z = x 2 + y 2 , z = 0 ;7) I = ∫∫∫ (x giới hạn bởi x 2 + y 2 + z 2 = 2Rz, z = x 2 + y 2 , z ≥ 0 ;8) I = + y 2 )dxdydz , trong số đó 2 ∫∫∫ <(x + y ) giới hạn bởi (z − 1)2 = x 2 + y 2 , z = 0 ;9) I = − z >dxdydz , trong các số ấy 2 ∫∫∫ là hình ước x 2 + y 2 + z 2 − z ≤ 0 ;10) I = x 2 + y 2 + z 2 dxdydz , trong số ấy miền ∫∫∫ z số lượng giới hạn bởi z = x 2 + y 2 , z = 1 ;11) I = x 2 + y 2 dxdydz , trong đó ∫∫∫ dxdydz , trong các số đó giới hạn bởi z ≥ x 2 + y 2 , x 2 + y 2 + z 2 = 1 .12) I = …………………………………………………………….. Trang 10Th
S. Đoàn vương vãi Nguyên bài bác tập thường xuyên kỳ Toán thời thượng A3 Đại học năm học tập 2011 – 2012 Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG – TÍCH PHÂN MẶTI. TÍCH PHÂN ĐƯỜNGCâu 1. Tính những tích phân đường một số loại 1 sau đây1) I = ∫ (x + y )dl , trong những số ấy C bao gồm phương trình x + y = 1, 0 ≤ x ≤ 1 ; C ∫ (x + y ) dl , trong những số đó C bao gồm phương trình x + y = a, 0 ≤ x ≤ a ;2) I = 2 C ∫ (x − y )dl , trong các số ấy C bao gồm phương trình x + y = 1, 0 ≤ x ≤ 1 ;3) I = C ∫ x y dl , trong đó C tất cả phương trình y = x , 0 ≤ x ≤ a ;4) I = 52 C ∫ sin y dl , trong các số đó C bao gồm phương trình y = x , 0 ≤ x ≤ 2π ;5) I = 5 C ∫ (6x + 6y + 2)dl , trong những số ấy C gồm phương trình 3y + 4x = 0, 0 ≤ x ≤ 1 ;6) I = C ∫ (2x + 3y )dl , trong số đó C7) I = 2 là đoạn thẳng nối những điểm A(0; 0) và B(1; 1); C ∫ (x + y )dl , trong những số ấy C8) I = là đoạn thẳng nối các điểm A(0; 1) cùng B(1; 2); C ∫ (x + y ) dl , trong số ấy C9) I = 2 là đoạn thẳng nối những điểm A(2; 0) với B(0; 2); C 8x ∫10) I = dl , trong các số ấy C là parabol y = x 2 nối điểm các điểm A(0; 0) với B(1; 1); 1 + 4x 2 C ∫ xydl , trong các số ấy C là đường giáp ranh biên giới của hình vuông vắn 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 ;11) I = C ∫ (x + y )dl , trong số đó C là đường biên giới của hình vuông vắn 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 ;12) I = C ∫ (x + y )dl , trong những số ấy C13) I = là đường biên của tam giác với những đỉnh O(0; 0), A(1; 0) cùng B(0; 1); C ∫ xydl , trong các số ấy C14) I = là đường biên giới của tam giác với những đỉnh A(–1; 0), B(0; 1) với C(1; 0); C ∫ (x + y 2 )dl , trong số đó C là mặt đường tròn x 2 + y 2 = R 2 ;15) I = 2 C ∫ (x + y 2 )dl , trong các số ấy C là 1/4 mặt đường tròn x 2 + y 2 = 16, x ≥ 0, y ≥ 0 .16) I = 2 CCâu 2. Kiếm tìm độ dài các cung tròn C tất cả phương trình sau1) x 2 + y 2 = 4 thỏa đk y ≥ x ; 2) x 2 + y 2 = 4 thỏa đk y ≥ x , y ≥ −x ;3) x 2 + y 2 = 16 thỏa đk y ≥ 3x ; 4) x 2 + y 2 = 25 thỏa đk y ≥ 3 x , y ≥ 0 ;5) x 2 + y 2 = 25 thỏa điều kiện y ≥ 3 x , x ≥ 0 ; 6) x 2 + y 2 = 144 thỏa đk y ≤ 3 x , y ≥ x ;7) x 2 + y 2 = 16 thỏa điều kiện y ≥ − 3 x , y ≥ x ; 8) x 2 + y 2 = 4 thỏa đk y ≥ −x , y ≤ − 3 x . Trang 11Th
S. Đoàn vương vãi Nguyên bài xích tập hay kỳ Toán thời thượng A3 Đại học năm học tập 2011 – 2012Câu 3. Tính những tích phân đường nhiều loại 2 sau1) I = ∫ ydx + xdy , AB lấy theo con đường x 2 + y 2 = 1 nằm tại vị trí góc phần tư đầu tiên lấy theo hướng dương; AB ∫ ydx − xdy , AB mang theo mặt đường x + y 2 = 1 nằm tại góc phần tứ thứ hai rước theo chiều âm;2) I = 2 AB x2 ∫ + y 2 = 1 nằm ở góc phần tư thứ nhất lấy theo chiều âm;3) I = xdy + ydx , AB mang theo đường 4 AB x2 ∫ + y 2 = 1 nằm tại góc phần tư thứ hai đem theo chiều dương;4) I = xdy − ydx , AB rước theo con đường 4 AB ∫ 2xdx + dy , AB đem theo đường x + y 2 = 1 nằm ở góc phần bốn thứ bốn lấy theo hướng dương;5) I = 2 AB ∫ 2xdx − dy , AB đem theo mặt đường x + y 2 = 1 nằm tại góc phần tứ thứ bố lấy theo hướng âm;6) I = 2 AB ∫ 2ydx , AB đem theo đường x + y 2 = 1 nằm ở phần tư máy hai đem theo chiều dương;7) I = 2 AB x 2 y2 ∫ + = 1 nằm tại vị trí góc phần tứ thứ bốn lấy theo chiều âm.8) I = 4xdy , AB mang theo mặt đường 9 4 ABCâu 4. Tính các tích phân đường nhiều loại 2 sau1) I = ∫ (2xy + 4x 3 + 1)dx − (2xy + 4y 3 − 1)dy đem theo đường y = 1 đi tự điểm A(0; 1) cho B(1; 1); AB ∫ (2xy + 4x + 1)dx − (2xy + 4y 3 − 1)dy lấy theo mặt đường x = 2 đi trường đoản cú điểm A(2; 1) đến B(2; 0);2) I = 3 AB ∫ (y + 2x + 1)dx +(y − 1)dy rước theo con đường y = −x + 1 đi trường đoản cú điểm A(0; 1) mang đến B(1; 0);3) I = AB ∫ 2xydx +x dy lấy theo con đường x + y = 0 đi từ nơi bắt đầu toạ độ O đến điểm A(–1; 1);4) I = 2 OA ∫ (xy − 1)dx + (yx 2 + 3)dy đem theo đường y = 2x 2 đi từ nơi bắt đầu toạ độ O tới điểm A(1; 2);5) I = 2 OA ∫ 2xydx +x dy rước theo cung parabol y = x 2 đi trường đoản cú điểm A(–1; 1) mang lại B(1; 1);6) I = 2 AB ∫ (y + 2x )dx + (4y + x )dy lấy theo cung y 3 = x đi từ điểm O(0; 0) đến A(1; 1);7) I = OA ∫ ydx + (y + x )dy lấy theo cung y 2 = 2x đi từ điểm O(0; 0) mang đến A(2; 2);8) I = 3 OA ∫ 6x ydx + 2x dy mang theo cung y = x 4 đi trường đoản cú điểm A(–1; 1) mang đến B(1; 1);9) I = 2 3 AB ∫ ydx + xdy rước theo cung parabol y = 2x 2 + 1 đi tự điểm A(0; 1) mang lại B(1; 3).10) I = ABCâu 5. Áp dụng bí quyết Green, tính các tích phân đường các loại 2 sau1) I = ∫ y sin xdx − cos xdy , trong số ấy C là biên của hình vuông vắn D = <−1; 1> × <0; 2> ; C ∫ xy dx + 3x ydy , trong số đó C là biên của hình chữ nhật D = <0; 1> × <0; 2> ;2) I = 2 2 C ∫ (x + y − 3)dx + (2xy + 3x + 2)dy , trong số ấy C : x 2 + y 2 = 1 ;3) I = 2 C Trang 12Th
S. Đoàn vương vãi Nguyên bài bác tập thường kỳ Toán cao cấp A3 Đại học tập năm học 2011 – 2012 ∫ (x + y + 3)dx + (x − 3y + 5)dy , trong số ấy C : x + y = 1;4) I = 2 2 C ∫ (x + y 2 )dx + (x + y )2 dy , trong số ấy C : x 2 + y 2 = R 2 ;5) I = 2 C ∫ (3x + y )dx + 2x (y + 1)dy , trong các số ấy C : x + y 2 = R2 ;6) I = 2 2 C ∫ (y + 3 sin x )dx + (2x + cos y )dy , trong những số đó C : x + y 2 = 16 ;7) I = 2 C x2 ∫ + y2 = 1 ;8) I = (3y − 4 cos x )dx + (4x + 5 cos y )dy , trong những số đó C : 16 C ∫ e dx + x (2 + e )dy , trong các số ấy C : (x − 1)2 + (y − 2)2 = 4 ;9) I = y y C x 2 y2 ∫ + = 1.10) I = y(sin x + 1)dx + (x − cos x )dy , trong các số đó C : 4 9 CII. TÍCH PHÂN MẶTCâu 1. Tính các tích phân mặt các loại 1 sau1) I = ∫∫ (2x 2 − xy + 3)ds , trong các số đó S là khía cạnh y = 2x , x 2 + z 2 ≤ 1 ; S ∫∫ (x − y 2 − xz + yz + 2)ds , trong đó S là khía cạnh z = x + y, x 2 + y 2 ≤ 9 ;2) I = 2 S ∫∫ xds , trong các số đó S là mặt x + 2y + z = 0, y 2 + z 2 ≤ 6 ;3) I = S ∫∫ (x + y )ds , trong số đó S là phương diện của hình lập phương <0; 1> × <0; 1> × <0; 1> ;4) I = S ∫∫ (x + y + z )ds , trong những số ấy S là mặt của hình lập phương <0; 1> × <0; 1> × <0; 1> ;5) I = S ∫∫ (x + y + z )ds , trong số đó S là mặt x + y + z = 2, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 ;6) I = S ∫∫ (x + y + z )ds , trong số đó S là phương diện x + y + z = 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, z ≥ 0 ;7) I = S ∫∫ xy(2x + 2y + z )ds , trong các số đó S là khía cạnh 2x + 2y + z = 2, 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 ;8) I = S ds ∫∫ , trong những số đó S là phương diện z = x 2 + y 2 , 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3 ;9) I = 1 + 4x + 4y2 2 S ds ∫∫ , trong những số đó S là khía cạnh x = y 2 + 2z 2 , y 2 + z 2 ≤ 4 .10) I = 1 + 4y + 16z 2 2 SCâu 2. Tính diện tích s S của các mặt sau1) 2x − 2y + z = 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 ; 2) 2x − 2y + z = 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2 ;3) x 2 + y 2 ≤ 2x , z = 2 ; 4) z = 2x + 2y, x 2 + y 2 ≤ 4x ; x 2 y2 x2 + ≤ 1, z = 2 ; 6) 2x − 2y + z = 3, + y2 ≤ 1;5) 4 9 4 Trang 13Th
S. Đoàn vương vãi Nguyên bài tập thường kỳ Toán cao cấp A3 Đại học năm học 2011 – 20127) z = x + y , x + z ≤ 1 ; 8) z = x + y 2 , x 2 + z 2 ≤ 4x ; 2 2 2 2 2 x 2 y2 x 2 y29) x + 4y + z = 1, + ≤ 1; 10) 2x + 2y + z = 1, + ≤1. 4 9 16 9Câu 31) Tính diện tích S của phần mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 100 nằm giữa hai mp x = −8 cùng x = 6 ;2) Tính diện tích S của phần mặt trụ x 2 + y 2 = R 2 (z ≥ 0) nằm giữa hai mp z = 5x với z = 3x ; x 2 y23) Tính diện tích s S của phần mặt mong x 2 + y 2 + z 2 = R 2 phía bên trong mặt trụ elip + = 1; 9 44) Tính diện tích S của phần mặt mong x 2 + y 2 + z 2 = R 2 phía bên trong mặt trụ x 2 + y 2 = Ry ;5) Tính diện tích S của phần khía cạnh nón z = x 2 + y 2 bên trong mặt trụ x 2 + y 2 = 1 ;6) Tính diện tích S của phần phương diện nón z = x 2 + y 2 phía bên trong mặt trụ x 2 + y 2 = 2x ;7) Tính diện tích s S của phần khía cạnh parabolic z = 2 − x 2 − y 2 nằm trong lòng hai khía cạnh z = 0 cùng z = 1 .Câu 4. Tính các tích phân mặt các loại 2 sau1) I = ∫∫ zdxdy , trong số ấy S là khía cạnh trên của phương diện 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2, z = 2 ; S ∫∫ zdxdy , trong đó S là mặt dưới của khía cạnh x + y ≤ 1, x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 1, z = 2 ;2) I = S ∫∫ dxdy , trong những số đó S là phương diện trên của mặt x 2 + y 2 ≤ 2, z = 4 ;3) I = S ∫∫ dxdy , trong các số ấy S là mặt bên dưới của phương diện 2x + 3y = 4, x 2 + y 2 ≤ 2 ;4) I = S dxdy ∫∫ , trong số đó S là mặt bên dưới của phương diện x 2 + y 2 ≤ 9, z = 4 ;5) I = x +y 2 2 S x 2 y2 ∫∫ dxdy , trong đó S là mặt dưới của phương diện + ≤ 1, z = 2 ;6) I = 4 9 S ∫∫ x dydz , trong các số ấy S là khía cạnh trên của phương diện x 2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0 ;7) I = 2 S ∫∫ x dydz , trong số đó S là mặt bên dưới của mặt x 2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0 ;8) I = 2 S ∫∫ xydxdy , trong các số đó S là mặt bên cạnh của mặt x 2 + z 2 = 1, 0 ≤ z ≤ 2 ;9) I = S ∫∫ xydxdy , trong đó S là phương diện trong của phương diện x 2 + z 2 = 4, 0 ≤ y ≤ 1 .10) I = SCâu 5. Mang lại S là khía cạnh biên bên cạnh của miền đóng cùng bị ngăn ⊂ ℝ 3 , dùng bí quyết Gauss – Ostrogradskibiến đổi các tích phân mặt một số loại 2 tiếp sau đây sang tích phân bội ba1) I = ∫∫ y 2dydz + z 2dxdz + x 2dxdy ; 2) I = ∫∫ x 2dydz + y 2dxdz + z 2dxdy ; S S ∫∫ x ydydz + y zdxdz + z xdxdy ; ∫∫ z dydz + y dxdz + z dxdy ;3) I = 4) I = 2 2 2 3 3 3 S S ∫∫ xz dydz + zy dxdz + yz dxdy ; ∫∫ y dydz + 3(x + y + z )ydxdz + x dxdy ;5) I = 6) I = 3 3 3 3 3 S S Trang 14Th
S. Đoàn vương Nguyên bài xích tập thường xuyên kỳ Toán cao cấp A3 Đại học tập năm học tập 2011 – 2012 ∫∫ xy dydz + 3(xy + z )dxdz + x dxdy ; ∫∫ yz dydz + 3(x + yz )dxdz + y dxdy .7) I = 8) I = 3 2 3 3 S SCâu 6. Tính những tích phân mặt một số loại 2 sau, với S là phương diện biên quanh đó của miền sẽ chỉ ra1) I = ∫∫ zdxdy + 2xdydz + ydzdx , trong các số đó : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3 ; S ∫∫ zdxdy + 3xdydz − 3ydzdx , trong các số đó : x 2 + y 2 ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 4 ;2) I = S ∫∫ zdxdy − xdydz + ydzdx , trong đó : x 2 + y2 + z 2 ≤ 1 ;3) I = S ∫∫ zdxdy − 2ydydz + 2ydzdx , trong số ấy : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4z ;4) I = S y2 z 2 ∫∫ : x2 + + ≤ 1;5) I = 2xydxdy + 2xdydz + 4ydzdx , trong số ấy 4 9 S x 2 y2 ∫∫ 2ydxdy + 3xdydz + ydzdx , trong các số đó + + z2 ≤ 1;6) I = : 4 9 S ∫∫ 2xdxdy + xdydz + 3ydzdx , trong số ấy : x 2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 ;7) I = S x 2 y 2 2zdxdy + 3ydydz + 6zdzdx , trong số đó : + ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 ; ∫∫8) I = 4 9 S ∫∫ zdxdy + xdydz − ydzdx , trong số đó : x + y + z ≤ 9 ;9) I = 2 2 2 S y2 z 2 ∫∫ : x2 + + ≤ 1.10) I = 3xdxdy + 2xdydz − ydzdx , trong số đó 4 9 S …………………………………………………………………….. Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNI. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP ICâu 1. Giải các phương trình vi phân với đổi thay phân ly (tách biến) sau đây dx dy 2) (1 − y 2 )dx + x ln xdy = 0 ; + = 0;1) 1+x 2 1−y 2 1 − y2 4) x y 2 + 1dx + y x 2 + 1dy = 0 ; dx + 1 + x 2 dy = 0 ;3) y dx dy5) x (y 2 + 1)dx + y(x 2 + 1)dy = 0 ; + = 0, y(1) = 1 ; 6) x (y − 1) y(x + 2) yy ′7) cos2 y dx + x rã y dy = 0 ; + e y = 0, y(1) = 0 ; 8) x e 2x π 29) e 1+x chảy y dx − 10) (1 + e 2x )y 2 dy = e x dx , y(0) = 0 ; dy = 0, y(1) = ; x −1 2 π 12) y ′ = 2x −y , y(−3) = −5 ;11) y ′ + cos(x + 2y ) = cos(x − 2y ), y(0) = ; 4 Trang 15Th
S. Đoàn vương vãi Nguyên bài bác tập hay kỳ Toán cao cấp A3 Đại học năm học tập 2011 – 2012 15 13) y ln 3 y + y ′ x + 1 = 0, y − = e ; 14) y ′ = e x +y + e x −y , y(0) = 0 . 16 Câu 2. Giải các phương trình vi phân phong cách sau phía trên x 2 − y2 2) xy ′ = y + x ;1) y ′ = 2 ; y − xy y π 4) xy ′ = y + x sin , y(1) = ;3) (x 2 + 2xy )dx + xydy = 0 ; 2 x y y5) xy ′ ln 6) xyy ′ = y 2 + 2x 2 ; = x + y ln ; x x y π 8) x 2y ′ = 4x 2 + xy + y 2 , y(1) = 2 ;7) xy ′ − y = x tan , y(1) = ; 2 x y y9) (xy ′ − y )arctan = x ; 10) xy ′ = xe pháo x + y, y(1) = 0 ; x11) xy ′ = 2y − 2 xy ;12) (x 4 + 6x 2y 2 + y 4 )dx + 4xy(x 2 + y 2 )dy = 0, y(1) = 0 .Câu 3*. Bằng phương pháp đưa về dạng quý phái hoặc bóc tách biến, hãy giải những phương trình vi phân sau đây1) (2x + y + 1)dx + (x + 2y − 1)dy = 0 ; 2) (x + y + 2)dx + (2x + 2y − 1)dy = 0 ;3) (x − 2y + 3)dx + (2x + y − 1)dy = 0 ; 4) (x − y + 4)dx + (x + y − 2)dy = 0 ;5) 2(x + y )dy + (3x + 3y − 1)dx = 0, y(0) = 2 ; 6) (y − x − 4)dy = (x + y − 2)dx , y(1) = 1 . A1x + b1y + c1Hướng dẫn. Các phương trình trên bao gồm dạng y ′ = . A2x + b2y + c2 a x + b y + c = 0 ab
Xét hệ 1 , ∆ = 1 1 ta bao gồm hai ngôi trường hợp: 1 1 a 2x + b2y + c2 = 0 a 2 b2 • trường hợp ∆ ≠ 0 thì hệ bao gồm nghiệm tuyệt nhất (α; β ) , ta đổi biến đổi x = u + α và y = v + β .• nếu ∆ = 0 thì ta đổi biến đổi t = a1x + b1y ⇒ b1dy = dt − a1dx và đưa phương trình về dạng bóc tách biến.Câu 4. Giải những phương trình vi phân toàn phần sau đây 1) 2(xy + sin y )dx + (x 2 + x cos y )dy = 0 ; 2) (e x + y + sin y )dx + (e y + x + x cos y )dy = 0 ; 3) (x + sin y )dx + (x cos y + sin y )dy = 0 ; 4) (cos y − 2y sin 2x )dx − (x sin y − cos 2x )dy = 0 ; 5) (y + e x sin y )dx + (x + e x cos y )dy = 0 ; 6) (arcsin x + 2xy )dx + (x 2 + arctan y + 1)dy = 0 ; x 2 7) (y + x ln y )dx + + x + 1dy = 0 ; 2y 8) (3x 2y + sin x )dx + (x 3 − cos y )dy = 0 ; 9) (e x +y + 3x 2 )dx + (e x +y + 4y 3 )dy = 0, y(0) = 0 ; 10) (x 2 + y 2 + y )dx + (2xy + x + e y )dy = 0, y(0) = 0 ; 2 x 2 11) (2xye x + ln y )dx + e x + dy = 0, y(0) = 1 ; y Trang 16Th
S. Đoàn vương vãi Nguyên bài xích tập thường xuyên kỳ Toán cao cấp A3 Đại học năm học tập 2011 – 2012 x 12) (ln y − 5y 2 sin 5x )dx + + 2y cos 5x dy = 0, y(0) = e . y Chú ý. Ko kể cách giải thông thường đã học, ta còn có công thức tra cứu nghiệm bao quát sau: ∫ P(x, 0)dx + ∫ Q(x, y )dy = C p. (x , y )dx + Q(x , y )dy = 0 ⇒Câu 5. Giải những phương trình vi phân tuyến đường tính cung cấp 1 cùng Bernoulli sau đây1) xy ′ − y = x 2 cos x ; 2) y ′ + 2xy = xe pháo −x ; 2 4 33) y ′ cos x + y = 1 − sin x ; 4) y ′ + y = 4 , y(1) = 0 ; x x 6) y ′ 1 − x 2 + y = arcsin x , y(0) = 0 ;5) (1 + x 2 )y ′ + y = arctan x ; x 1 = cos2 x . Ln tan ; y y 7) y ′ − 8) y ′ − = x ln x , y(e) = e 2 ; 2 sin x x ln x 2 π 1 10) y ′ sin x − y cos x = 1, y = 0 ;9) y ′ + 3y rã 3x = sin 6x , y(0) = ; 2 3 12*) (y 4 + 2x )y ′ = y ;11*) (2xy + 3)dy − y 2dx = 0 ; 2y 2 213) y ′ + 14) y ′ + y = 3x 2 . 3 y 4 ; y= ; cos2 x x x y2 y15) y ′ − 16) 4xy ′ + 3y = −e x x 4y 5 ; = ; x −1 x −1 3x 2y17) y ′ − 2y rã x + y 2 sin2 x = 0 ; 18) y ′ + = y 2 (x 3 + 1)sin x , y(0) = 1 ; x3 +1 20*) (y 2 + 2y + x 2 )y ′ + 2x = 0, y(1) = 0 .19*) ydx + (x + x 2y 2 )dy = 0 ;Hướng dẫn. Trong những câu 11), 12), 19) và 20) ta xem x là hàm không biết, tức thị dx = x ′dy .II. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAOCâu 1. Giải những phương trình vi phân cao cấp (dạng khuyết) sau đây 1 1 , y ′(0) = 0, y ′′(0) = , y ′′′(0) = 0 ; 1) y (4) = cos2 x, y(0) = 32 8 2) y ′′′ = x sin x , y(0) = y ′(0) = 0, y ′′(0) = 2 ; 3) y ′′′ = xe −x , y(0) = 0, y ′(0) = y ′′(0) = 2 ; 4) y ′′′ sin 4 x = sin 2x ; 5) (1 − x 2 )y ′′ − xy ′ = 2 ; 6) 2xy ′′y ′′′ = (y ′′)2 − 1 ; 7) (1 + x 2 )y ′′ + (y ′)2 + 1 = 0 ; 8) (x − 1)y ′′′ − y ′′ = 0, y(2) = 2, y ′(2) = y ′′(2) = 1 ; 9) (2y + 3)y ′′ − 2(y ′)2 = 0 ; 10) yy ′′ − (y ′)2 = 0, y(0) = 1, y ′(0) = 2 ; 11*) (y ′)2 + yy ′′ = yy ′ ; 12*) 3(y ′)2 = 4yy ′′ + y 2 ; Trang 17Th
S. Đoàn vương vãi Nguyên bài bác tập thường kỳ Toán cao cấp A3 Đại học tập năm học tập 2011 – 2012 y′Hướng dẫn. Vào 11) ta áp dụng (yy ′)′ và trong 12) ta chia 2 vế đến y 2 rồi để z = . Y
Câu 2. Giải những phương trình vi phân tuyến đường tính cao cấp thuần tuyệt nhất với hệ số hằng sau đây1) 3y ′′ − 8y ′ + 5y = 0 ; 2) 2y ′′ − 7y ′ − y = 0 ;3) y ′′ − y ′ + 6y = 0 ; 4) y (4) + y = 0 ; 6) y ′′′ + 5y ′′ + 8y ′ + 4y = 0 ;5) y (4) − 2y ′′′ + y ′′ = 0 ;7) y ′′ + 5y ′ + 6y = 0, y(0) = 1, y ′(0) = −6 ; 8) y ′′ − 10y ′ + 25y = 0, y(0) = 0, y ′(0) = 1 ; 3π 3π π π π 10) 9y ′′ + y = 0, y = 2, y ′ = 0 ; ′′ − 2y ′ + 10y = 0, y = 0, y ′ = e 6 ; 9) y 2 6 6 2 π π 11) y ′′ + 9y = 0, y (0) = 0, y = 1 ; 12) y ′′ + y = 0, y ′ (0) = 1, y ′ = 0 . 4 3Câu 3. Giải các phương trình vi phân đường tính trung học phổ thông với hệ số hằng sau đây1) y ′′ − 4y ′ + 5 = 0 ; 2) y ′′ − 7y ′ − 1 = 0 ;3) y ′′ − y ′ + 6 = 0 ; 4) y ′′ + y ′ + 3 = 0 ;5) y ′′ + 2y ′ − 3 = 0 ; 6) y ′′ + 4y ′ + 4 = 0 .Câu 4. Kiếm tìm một nghiệm riêng cùng giải những phương trình vi phân tiếp sau đây 2) y ′′ + y ′ = 2 sin x + 3 cos 2x ;1) y ′′ − 2y ′ + 2y = 2e x ;3) y ′′ − 4y ′ − 5y = 4 sin x − 6 cos x ; 4) y ′′ + 2y ′ + 26y = 29e x ; 6) y ′′ + 4y ′ + 4y = cos x ;5) y ′′ − 4y ′ + 4y = e 2x (x 3 − 4x + 2) ; 8) y ′′ + 6y ′ + 8y = 2x sin x + cos x ;7) y ′′ − 4y ′ + 3y = e 3x sin x ;9) y ′′ − 8y ′ + 12y = e 2x (x 2 − 1) ; 10) y ′′ + 3y ′ + 2y = e x x 2 ;11) y ′′ + 3y ′ + 2y = e −x x 2 ; 12) y ′′ − 6y ′ + 10y = xe 3x sin x ;13) y ′′ + 3y = x 2 sin x ; 14) y ′′ − 6y ′ + 8y = e 2x sin 4x . …………………………………Hết………………………………… Trang 18
... | 17 - Toán Cao cấp A1 truy vấn : sites.google.com/site/dethidhnl Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm vươn lên là - Trang | 18 - Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm đổi thay Toán Cao cấp A1 1 I 1 ... Tích Phân Của Hàm trở nên - Trang | - Toán Cao cấp A1 truy cập : sites.google.com/site/dethidhnl Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm trở nên - Trang | - Toán Cao cung cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân ... Trang | - Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm đổi mới Toán Cao cung cấp A1 : : truy vấn : sites.google.com/site/dethidhnl - Trang | - Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm biến đổi Toán Cao cấp cho A1 ẫ : :...
Bạn đang xem: Bài tập toán cao cấp a3 có lời giải
... Ng: Toán cao c p. A1. V Gia Tê, Nguy n Phi Nga, H c vi n Công ngh BCVT, 2005 Sách h ng d n h c t phường t p: Toán cao c p A1 V Gia Tê, Nguy n Phi Nga, H c vi n Công ngh BCVT, 2005 bài xích gi ng i n t : Toán ... GI I THI U MÔN H C GI I THI U CHUNG: Toán cao c p. A1 h c ph n u tiên c a ch ng trình toán giành cho sinh viên nhóm ngành thu c kh i k thu t h c t t môn Toán cao c p. Theo ph ng th c t o t xa, bên ... Ph n Toán cao c p. A1 c a B GD- T dành riêng cho Tr ng thu c kh i ngành công ngh PH NG PHÁP NGHIÊN C U MÔN H C h c t t môn h c này, sinh viên c n l u ý nh ng v n 1- Thu th p. Y sau : tài li u : bài xích gi...
... Vày d´ a o Giai D˘t x(t) = atgt ⇒ dx = cos2 t V´ du T´ I = ı ınh sin2 t dt a3tg2t · cos3 tdt = dt = − cos tdt I= a3 cos2 t cos t cos t t π = ln tg + − sin t + C x V` t = arctg nˆn ı e a x π ... ınh a a a 14.1.6 Phu.o.ng tr` Lagrange v` phu.o.ng tr` Clairaut255 ınh a ınh o.ng tr` vi phˆn cˆp cao 259 ´ 14.2 Phu ınh a a o.ng tr` đến ph´p thˆp cˆp 260 ´ ´ 14.2.1 C´c phu a...
... Phân đẳng cấp cho B (1) phương trình vi phân tách bóc biến C (1) phương trình vi phân Bernoulli D (1) phương trình vi phân tuyến tính cung cấp 50 5xy/dy D (1) xác minh sau 5.2 Phương trình vi phân cấp cho II Câu ... 35 Phương trình vi phân 43 5.1 Phương trình vi phân cấp I 43 5.2 Phương trình vi phân cung cấp II 51 Tích phân mặt 56 6.1 Tích ... Phân mặt các loại 60 Chương Vi phân hàm nhiều biến đổi 1.1 Vi phân cung cấp 1, cung cấp Câu cho hàm số z D f x; y/ D e 2x
C3y , chọn câu trả lời n/ B zxn D 2n e 2x
C3y n/ A zxn D 5n...
... Th
S Đoàn vương vãi Nguyên bài tập thường xuyên kỳ Toán cao cung cấp A3 Đại học tập năm học 2011 – 2012 ĐỀ BÀI TẬP Chương HÀM SỐ NHIỀU BIẾN I ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Câu Tính đạo ... Nguyên bài xích tập thường kỳ Toán cao cung cấp A3 Đại học năm học tập 2011 – 2012 trả lời Trong 11) ta sử dụng (yy ′)′ 12) ta phân tách vế cho y đặt z = y′ y Câu Giải phương trình vi phân con đường tính cấp cao với ... Xy, v = x − y Câu 10* Tính đạo hàm cấp cho nhị y ′′(x ) hàm số ẩn y = y(x ) khẳng định phương trình sau Trang Th
S Đoàn vương vãi Nguyên bài xích tập thường kỳ Toán cao cung cấp A3 Đại học năm học 2011 – 2012 x −...
Xem thêm: Nên Tặng Quà Sinh Nhật Gì Cho Chị Gái Như Nào? Top 15 Quà Tặng Sinh Nhật Ý Nghĩa
... 2 2 2 x2 y xy y x y xy x y x x y 2 x2 y x2 y y x2 y x2 y y x2 y x x y y x2 y HD giải BT Toán cao cấp x2 ... " 2, 1 zx 2 x x2 2, 1 dx z "y 2, 1 dy 2dx 2dy 2, 1 2 x x2 2 x Vậy: x " zx "" zxx xy x2 y x2 y x2 y y3 xy x y y x y 2 2, 1 ... Thể tham khảo Bài tập Toán cao cấp cho – Tập ba” Nguyễn Đình Trí 20 . 21 . 22 . 23 .Xem lại cách giải phần (Phần 1 .2, ý 11) 24 .Cho f (x, y) cos x sin y tìm df 0,0 ; df 0,0 phía dẫn: f x" ...
... Xf ( f hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục) thỏa phương trình z x′′2 z y2 = (z xy ) ; x Trang Th
S Đoàn vương vãi Nguyên bài xích tập thường kỳ Toán cao cấp A3 ĐH y y ′′ ′′ 3) Hàm ... Ln x + y = arctan 6) sin z ; xy z − x arccos y = xye z y Th
S Đoàn vương vãi Nguyên bài bác tập hay kỳ Toán cao cung cấp A3 ĐH Câu Tính đạo hàm hàm số ẩn y = y(x ) , z = z (x ) xác định hệ phương trình ... Th
S Đoàn vương vãi Nguyên bài xích tập thường xuyên kỳ Toán cao cấp A3 ĐH 2) Nhóm bao gồm từ đến tối đa sinh viên làm cho nhóm bao gồm sinh viên, bên cạnh đó sinh viên...
... Cun bi tp-Ton cao ep cho cỏc nhó kinh t*, Nh xut bn Thng ke ỏn hnh n
Sm 200S, ln ny chỳng tụi đến biờn son cun Hng doanh nghiệp gii bi Toỏn cao cp mang lại cỏc nh tởm t Mc ớch cựa cun sỏch nhm giỳp mang lại sinh viờn ... Ht mang lại X - y, y - z, z - X y1 i 13 Chỳng minh rng chia hờ"t đến 17 bit rng cỏc s 204, 527,255 u phân chia ht đến 17 5 14 Nu cỏc s a,a2a,, b,bjb,, c,c,c, chia ht cho thỡ b, c, b, c, cng chia ht đến ... Ht mang đến 19, bit rng 209,347,133 phân chia ht đến 19 Gii: Ta nhan 100 vo ct 1,10 vo ct ri cng vo ct 200 + 209 300 + 40 + = 347 100 + 30 + 133 vào nh thc sau bih i cú ct gm cỏc phn t u phân tách ht cho...
... Hàm trở nên - Trang | 34 - Toán Cao cấp cho A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm biến hóa D ĐỀ THI NÔNG LÂM | truy tìm CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 35 - Toán Cao cấp A1 ĐỀ THI NÔNG LÂM | truy nã CẬP : DETHINLU.TK ... THI NÔNG LÂM | truy hỏi CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 31 - Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm biến đổi Toán Cao cấp A1 C ch : C ch : ) ĐỀ THI NÔNG LÂM | tróc nã CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 32 - Toán Cao cấp ... Phép Tính Tích Phân Của Hàm đổi thay Toán Cao cấp A1 : ĐỀ THI NÔNG LÂM | truy tìm CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 37 - Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm đổi thay Toán Cao cấp A1 Tích Phân T : : Ch : ng Phương...
... Phương pháp tích phân phần, tính tích phân: 3.2 x sin xdx 3.1 x 2cos2 xdx 3.3 xe pháo 2 x dx 3.4 3x x e dx Toán cao cấp cho – Giải tích trần ... Toán cao cấp – Giải tích trằn Thị Khánh Linh - §6 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Tính tích phân x 1 1.1 dx, x ... Toán cao cấp – Giải tích trần Thị Khánh Linh - Chương 1: HÀM MỘT BIẾN SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG vào PHÂN TÍCH ghê TẾ §1 CÁC...
... 22 32 2 22 − 32 0 −1 −8 22 32 ⇒ ρ( Α) = −1 0 8) A= 1 −1 3 −4 η1( 4)+ 2 −7 2 η1( −3)+ η3→ η1( 2) + η4 −3 2 2+ η3 2+ ... 2) D = c d * M 12 M 22 = = 4 −3 2 * −4 5 − 2 −4 = -48 – 32 – 30 + 36 + 40 + 32 = -2 = -60 -16 – 10 + 12 + 50 +16 = -8 33 * M 32 * M 42 4 = 5 = − −3 −4 − −3 2 = -80 – 24 – 20 + 16 + 75 + 32 ... +5 - 12 + 26 = -29 = 26 – 90 + 117 +5 = 58 = + 39 – 72 = -29 ≠ bắt buộc hệ bao gồm nghiệm nhất: Dx − 29 x1 = = =1 D − 29 Dx 58 = − = 2 x2 = D 29 Dx − 29 x3 = = =1 D − 29 =2 x1 + x2 −...
tự khóa: lí giải giải bài xích tập toán cao cấp a3phuong phap giai bai tap toan cao cap a3bài tập toán cao cấp a3 tất cả lời giảibài tập toán thời thượng tích phân bao gồm lời giảigiai bai tap toan cao cap 1 phan khong gian vectohuong dan giai bai tap toan cao cap phan dao si vi phanbài tập toán cao cấp a3giải bài tập toán thời thượng 3bài tập toán cao cấp a3 nguyễn đình tríbài tập toán cao cấp học phần 2cách giải bài bác tập toán cao cấp 3giải bài bác tập toán thời thượng tập 3 nguyễn đình tríhướng dẫn giải bài bác tập toán thời thượng 3cách giải bài tập toán thời thượng a2hướng dẫn giải bài bác tập toán cao cấp a2chuyên đề điện xoay chiều theo dạng
Nghiên cứu tổ chức pha chế, tấn công giá quality thuốc tiêm truyền trong đk dã ngoại
Nghiên cứu tổng hợp chất chỉ điểm sinh học v
WF, VCAM 1, MCP 1, d dimer trong chẩn đoán và tiên lượng nhồi máu não cấp
Một số giải pháp nâng cao chất lượng streaming thích ứng video clip trên nền giao thức HTTPGiáo án Sinh học 11 bài 13: thực hành phát hiện diệp lục với carôtenôit
Giáo án Sinh học tập 11 bài xích 13: thực hành thực tế phát hiện tại diệp lục cùng carôtenôit
Giáo án Sinh học tập 11 bài 13: thực hành thực tế phát hiện nay diệp lục với carôtenôit
ĐỒ ÁN NGHIÊN CỨU CÔNG NGHỆ KẾT NỐI VÔ TUYẾN CỰ LY XA, CÔNG SUẤT THẤP LPWANNGHIÊN CỨU CÔNG NGHỆ KẾT NỐI VÔ TUYẾN CỰ LY XA, CÔNG SUẤT THẤP LPWAN SLIDETrả làm hồ sơ điều tra bổ sung cập nhật đối với các tội xâm phạm mua có tính chất chiếm giành theo lao lý Tố tụng hình sự việt nam từ thực tiễn tp.hồ chí minh (Luận văn thạc sĩ)Nghiên cứu, xây dựng ứng dụng smartscan và áp dụng trong bảo vệ mạng máy tính xách tay chuyên dùng
Nghiên cứu tài năng đo năng lượng điện bởi hệ tích lũy dữ liệu 16 kênh DEWE 5000Tìm hiểu công cụ nhận xét hệ thống đảm bảo an ninh hệ thống thông tin
Sở hữu ruộng khu đất và kinh tế tài chính nông nghiệp châu ôn (lạng sơn) nửa vào đầu thế kỷ XIXQuản lý nợ xấu trên Agribank trụ sở huyện Phù Yên, tỉnh sơn La (Luận văn thạc sĩ)chuong 1 tong quan lại quan tri rui ro
Giáo án Sinh học tập 11 bài 14: thực hành phát hiện nay hô hấp nghỉ ngơi thực vật
Giáo án Sinh học 11 bài xích 14: thực hành thực tế phát hiện tại hô hấp nghỉ ngơi thực vật
Chiến lược sale tại bank Agribank bỏ ra nhánh thành phố sài gòn từ 2013-2015QUẢN LÝ VÀ TÁI CHẾ NHỰA Ở HOA KỲ
Tai lieu Mục lục nội dung bài viết Tìm kiếm new Luận Văn Tài liệu mới Chủ vấn đề liệu mới đăng chiến đấu với cối xay gió ngữ văn 8 đã từng em cùng phụ huynh đi thăm mộ người thân trong ngày lễ tết điểm lưu ý chung cùng vai trò của ngành ruột vùng thuyết minh về con trâu lập dàn ý bài bác văn từ bỏ sự lớp 10 giải bài bác tập đồ lý 8 chuyện cũ trong phủ chúa trịnh giải bài bác tập đồ gia dụng lý 9 biên soạn văn tế nghĩa sĩ cần giuộc soạn bài cô bé xíu bán diêm giai bai tap vat ly 8 viet bai tap lam van so 2 lop 9 thuyet minh ve bé trau bài xích ca ngắn đi trên bến bãi cát sự cải tiến và phát triển của từ vựng tiếp theo sau ôn tập văn học trung đại vn lớp 11 bài tập xác suất thống kê có giải thuật bai viet so 2 lop 9 de 1 soan bai teo be ban diem gàn van lop 8 phân tích bài thơ từ tình 2
